SLAM #4 李群与李代数
为什么叫”李”群？ // S.Lie提出
前讲引入
$$\mathrm{SO}(3)=\lbrace {\pmb R} \in {\Bbb R}^{3 \times 3} | {\pmb{RR}}^T = {\pmb I}, det({\pmb R}) = 1\rbrace$$
$$\mathrm{SE}(3)=\left{T=\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{R} & \boldsymbol{t} \
\mathbf{0}^{\mathrm{T}} & 1
\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \mid \boldsymbol{R} \in \mathrm{SO}(3), \pmb{t} \in \mathbb{R}^{3}\right}$$
李群与李代数基础
群(Group): 一种集合加上一种运算的代数结构，该运算需满足：
封闭性， 结合律， 幺元， 逆。
s.t. subject to(such that)
矩阵中常见的群: 一般线性群GL(n) 特殊正交群SO(n) 特殊欧式群SE(n)
李群：具有连续(光滑)性质的群
李代数: 描述李群单位元附近的正切空间，由集合$\mathbb{V}$,数域$\mathbb F$和二元运算[,]组成
满足： 1. 封闭性 2. 双线性 3. 自反性 4. 雅可比等价
二元运算被称为李括号
李代数$\mathfrak{so}(3)$
$$\mathfrak{s o}(3)=\left{\boldsymbol{\phi} \in \mathbb{R}^{3}, \pmb {\Phi}=\boldsymbol{\phi}^{\wedge} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\right}$$
$\mathfrak{so}(3)$是一个由三维向量组成的集合，每个向量对应一个反对称矩阵，可以用于表达旋转矩阵的导数。
它与SO(3)的关系由指数映射给定:
$$\pmb R = exp(\phi ^ \land )$$
两个向量的李括号为：
$${\left[\boldsymbol{\phi}{1}, \boldsymbol{\phi}{2}\right]=\left(\boldsymbol{\Phi}{1} \boldsymbol{\Phi}{2}-\boldsymbol{\Phi}{2} \boldsymbol{\Phi}{1}\right)^{\vee}} $$
李代数$\mathfrak{se}(3)$
$$\operatorname {\mathfrak{se}}(3)=\left{\pmb \xi=\left[\begin{array}{l}
\pmb \rho \
\phi
\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{6}, \boldsymbol{\rho} \in \mathbb{R}^{3}, \boldsymbol{\phi} \in \mathfrak{s o}(3), \boldsymbol{\xi}^{\wedge}=\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{\phi}^{\wedge} & \rho \
0^{\mathrm{T}} & 0
\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{4 \times 4}\right}$$
把每个$\mathfrak{se}(3)$元素记作$\pmb \xi$,为六维向量。
此处扩展^含义，不再表示反对称:
$$\begin{array}{c}
\boldsymbol{\xi}^{\wedge}=\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{\phi}^{\wedge} & \boldsymbol{\rho} \
\mathbf{0}^{\mathrm{T}} & 0
\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{4 \times 4}
\end{array}$$
*仍然遵守^向量到矩阵，$^\vee$矩阵到向量
类似的，有李括号:
$${\left[\boldsymbol{\xi}{1}, \boldsymbol{\xi}{2}\right]=\left(\boldsymbol{\xi}{1}^{\wedge} \boldsymbol{\xi}{2}^{\wedge}-\boldsymbol{\xi}{2}^{\wedge} \boldsymbol{\xi}{1}^{\wedge}\right)^{\vee}}$$
指数与对数映射
SO(3)上的指数映射即罗德里格斯公式。满射，非单射！附表供查
注意，表格中未区分矢量
李代数求导与扰动模型
两李代数指数乘积的完整形式由Baker-Campbell-Hausdorff公式给出，由BCH近似:
对SO(3):
$$
\mathrm {ln(exp(\phi_1 ^ \wedge)exp(\phi_2 ^ \wedge))^ \vee }\approx \left{ \begin{array}{l}
J_{l}\left(\phi_{2}\right)^{-1} \phi_{1}+\phi_{2} \quad \text { 当 } \phi_{1} \text { 为小量, } \
J_{r}\left(\phi_{1}\right)^{-1} \phi_{2}+\phi_{1} \quad \text { 当 } \phi_{2} \text { 为小量. }
\end{array}
\right.
$$
对SE(3):
$$\begin{array}{c}
\exp \left(\Delta \xi^{\wedge}\right) \exp \left(\xi^{\wedge}\right) \approx \exp \left(\left(\mathcal{J}{l}^{-1} \Delta \xi+\xi\right)^{\wedge}\right) \
\exp \left(\xi^{\wedge}\right) \exp \left(\Delta \xi^{\wedge}\right) \approx \exp \left(\left(\mathcal{J}{r}^{-1} \Delta \xi+\xi\right)^{\wedge}\right)
\end{array}$$
SO(3)上的李代数求导
用李代数解决求导问题的思路分两种：
- 李代数求导
$$ \frac{\partial(\pmb {R p})}{\partial \phi}=(-\pmb{R p})^{\wedge} \pmb J_{l} $$ - 扰动模式(左乘)
*更加简单实用*
$$ \frac{\partial(\pmb {R p})}{\partial \varphi}=(-\pmb{R p})^{\wedge} $$
SE(3)上的李代数求导
$$ \frac{\partial(\pmb{T p})}{\partial \delta \pmb \xi}=
\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{I} & -(\boldsymbol{R p + t})^\wedge \
\mathbf{0}^{\mathrm{T}} & \mathbf{0}^{\mathrm{T}}
\end{array}\right] = (\pmb {T p})^{\odot} $$